Задача зі злитками

 
Ми розв'язуємо задачі заочного гуртка (2 клас). На цьому тижні була дуже цікава, на мій погляд, задача.

Алхімік Клеопатра виготовила чотири золоті злитки. Клеопатра зважила кожну пару злитків і отримала такі ваги: 23, 26, 27, 27, 28, 31 кедетів (вага 27 кедетов вийшла у двох різних пар). Скільки важили злитки? Напишіть у відповіді чотири числа.
Зауваження: Все злитки важать ціле число кедетів.

Заміню кедети на грами, так буде більш звично.

Перший крок у розв'язанні задачі, звичайно ж, це переклад умови задачі на математичну мову. Потрібно уважно прочитати умову і виділити всі необхідні для розв'язання задачі дані (часто деякі дані наведені завуальовано) і невідомі.

Дану задачу важко віднести до стандартної, алгоритм рішення не очевидний. Тому при аналізі умови у нас був справжній мозковий штурм. Що ми виявили в результаті:

- Оскільки злитків чотири (пронумеруємо їх 1, 2, 3 і 4), то їх можна було зважити наступним чином 1 і 2, 1 і 3, 1 і 4, 2 і 3, 2 і 4, 3 і 4.

- Маса злитків знаходиться в діапазоні від 23 до 31 г
 
- Злитки відрізняються або на 1 г, або на 3 г
 
- Всі злитки різної маси. Спробуємо довести це твердження. Нехай два злитки однієї маси. Тоді скільки різних значень маси ми зможемо отримати? Припустимо однакову масу мають злитки 1 і 4. Тоді можливі варіанти різних значень: 1 і 2, 1 і 3, 2 і 3, 1 і 1 (4). У задачі дано п'ять різних значень, значить злитки мають різну масу.



Виникла перша модель.

 
Розташуємо злитки по мірі зростання ваги, тоді, очевидно, 23 г важать 1 і 2 злитки, а 31 г - 3 і 4. Оскільки ми помітили, що злитки відрізняються на 1 і 3 г, далі розв'язували підбором. 23 = 11 + 12 або 10 + 13, а 31 = 15 + 16 або 14 + 17. Підійшли 11, 12, 15, 16 г. Це була перша спроба, і я, вважаю, що для 2 класу вона має право на існування.
 
Звичайно, ж хотілося отримати більш витончене рішення. Підказали табличний спосіб.

Занесемо дані в таблицю. Злитки розташовані по мірі зростання їхньої ваги. 

Отже, перейдемо до заповнення таблиці. Зважити перший з першим, другий з другим і так далі, ми не можемо, тому викреслимо клітини по діагоналі.

Так як злитки розташовані в порядку зростання ваги, тоді, очевидно, 23 г - це маса злитків 1 і 2, а 31 г - 3 і 4. Друга за легкістю пара буде пара 1 і 3, оскільки в будь-яких з решти чотирьох пар перший злиток не легше 1, другий не легше 2, і хоча б один при цьому важче. Аналогічно, отримаємо, що 28 г - це маса 4 і 2. У даній задачі, нам пощастило: дві комбінації, що залишилися, мають однакову масу. Якби це було не так, довелося розглянути два можливих варіанти. Але там пощастило, і можемо повністю заповнити таблицю.

Верхня частина таблиці дублюватиме нижню і нової інформації ми з неї не отримаємо.
Що ж ми можемо з неї отримати?

1) 23 + 31 = 54 (г) - маса всіх чотирьох злитків.
2) 23 + 26 + 27 = 76 (г) - маса чотирьох різних злитків і двох синіх (перших).
3) 76 - 54 = 22 (г) - маса двох синіх злитків.
4) 22/2 = 11 (г) - маса першого злитка.
5) 23 - 11 = 12 (г) - маса другого злитка
6) 26 - 11 = 15 (г) - маса третього злитка
7) 27 - 11 = 16 (г) - маса четвертого злитка
Відповідь: 11 г, 12 г, 15 г і 16 г