Задачи на переливание

Существует легенда (или, возможно, это правдивая история), что С. Пуассон решил стать математиком, после того как решил следующую задачу на переливание.

Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

        Задачи на переливание - один из видов старинных задач, которые до сих пор пользуются популярностью у любителей математики и часто встречаются в олимпиадных заданиях. Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объёма, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

         В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что
- все сосуды без делений,
- нельзя переливать жидкости на "на глаз"
         Бывают задачи в которых воду не экономят: можно наливать и сливать. А бывают задачи, когда, например, нужно поделить бензин, и тогда, естественно, невозможно ниоткуда добавлять жидкость и никуда сливать. 

       Рассмотрим различные способы решения таких задач. 

    Поскольку количество сосудов у нас ограничено, мы может решить задачу полным перебором вариантов. Как правило, начинающие юные математики так и делают. Есть научная игрушка, которая называется дозатор Руденко, она дает возможность задачу «пощупать». С дозатором или без него, часто у новичков решение выглядит таким образом. Набрали, большой сосуд, перелили в маленький, получили не то, что хотели, попробовали наоборот. Наполнили, опорожнили, снова попробовали другой вариант, пока, после многократных попыток, случайно не натолкнулись на решение. Т.е. решение от начала к концу, от данных к неизвестному не совсем эффективно.

Лучше решать от обратного, от конца к началу, задав вопрос: «Что от нас требуется? Что неизвестно?»

Покажем на примере.

Задача. Как, пользуясь банками в 3 литра и 5 литров, набрать ровно 1, 2 и 4 литра воды?

Первое решение бросается в глаза. 2=5-3. Тогда наливаем в пятилитровую банку 5 литров, переливаем в трехлитровую. В пятилитровой банке осталось 2 литра.

Как можно получить четыре.

3+1=4

2+2=4

5-1=4

Поскольку, сейчас у нас в пятилитровой банке 2 литра, а 3-2=1, реализуем последний вариант. Итак, опорожняем трехлитровую банку, переливаем туда 2 литра, наливаем 5 литров, и переливаем 1 литр в трехлитровую банку. В пятилитровой осталось 4 литра.

И наконец, один литр. У нас есть 4 литра, выливаем трехлитровую банку, наливаем в нее из 4 литров, получаем один литр в пятилитровой банке.

Удобно и наглядно оформлять решение в виде таблицы, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.

Разобранная выше задача примет следующий вид

                                                      5литр.      3литров.    

До переливания                               0                0             

После 1 переливания                       5               0              

После 2 переливания                       2               3             

После 3 переливания                       2               0              

После 4 переливания                       5               2              

После 5 переливания                       4               3             

После 6 переливания                       4               0             

После 7 переливания                       1               3             

Метод проб и ошибок не очень эффективен, составлять таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату. Механизировать решение этих задач с помощью «умного» шарика предложил Я.И. Перельман в книге «Занимательная геометрия». Для каждого случая предлагалось строить биль­ярдный стол особой конструкции, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет). 

Поскольку до данного метода мы явно еще не доросли, желающих ознакомится с ним подробнее отсылаю сюда, а остальным предлагаю потренироваться на следующих задачах.

1.  Каким образом из реки можно принести ровно 6 литров воды, если имеется только два ведра: одно – емкостью 4 литра, другое – 9 литров?

2. Бидон емкостью 10 литров заполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 литров в семилитровый бидон, используя при этом еще 1 бидон, вмещающий 3 литра.

3. Бочка емкостью 12 ведер наполнена керосином. Необходимо разлить его на две равные части, пользуясь только двумя бочками в 5 и 9 ведер.

4. Используя два ведра вместимостью 9 л и 11 л, наберите из водопроводного крана 4 л воды.

5.  Имея два полных 10-литровых бидона молока и пустые 4-литровую и 5-литровую кастрюли, отмерьте по 2 л молока в каждую кастрюлю.

6. В бочке 18 л бензина. Имеется по два ведра по 7 л, в которые нужно налить по 6 л бензина. Кроме того, есть черпак объемом 4 л. Как можно осуществить разлив?